Principio de Arquímides
Arquímedes de Siracusa vivió entre los años 287 y 212 A.C. Entre sus descubrimientos más notables está el principio de flotabilidad de los cuerpos, conocido hoy como principio de Arquímedes.
Arquímedes descubrió que un cuerpo, al ser sumergido parcial o totalmente en el interior de un fluido, experimenta una fuerza hacia arriba, llamada fuerza de empuje o, simplemente, empuje, cuyo módulo es igual al peso del fluido que desplaza.
El aumento del nivel de agua en el jarro es el mismo que se tendría si, en vez de poner la piedra en el jarro, se vertiera en él un volumen de agua igual al volumen de la piedra.
En términos de módulos, el empuje se define, entonces, del siguiente modo:
Donde, E es la fuerza de empuje y Pfd corresponde al peso del fluido desplazado. Es importante no confundir el peso del fluido desplazado con el peso del objeto sumergido. El primero depende de la masa del fluido desplazado (mfd);
Como sabemos, el peso del objeto, en cambio, es:
El principio de Arquímedes se aplica al comportamiento de los fluidos en general. Así, un globo aerostático asciende cuando su peso es menor que el peso del aire atmosférico que desplaza.
Demostración
Para demostrar la ecuación de Arquímedes utilizaremos la siguiente figura, en la cual se muestra un cuerpo que es dejado bajo el agua y entonces en un instante se tiene lo que muestra la figura, un cuerpo sumergido donde la presión en la parte superior es menor que en la parte inferior, pues está a una menor profundidad que la parte baja del cuerpo donde hay una mayor presión, pues la profundidad es mayor.
Entonces en la parte uno tenemos la presión P1=rgh1 suponiendo que esta presión se ejerce en la parte superior sobre una área A1 tenemos que la fuerza en la parte superior es F1=P1 A1.
En la parte inferior tenemos una situación parecida, sin embargo la profundidad del cuerpos es h2, de manera que la presión es P2=rgh2 y por tanto la fuerza es F2=P2 A2 .
Esta diferencia de fuerzas es la que producirá una fuerza neta hacia arriba que llamamos empuje.
El empuje es igual al peso del fluido que desplaza el cuerpo sumergido, como el volumen sumergido es igual al volumen desalojado de fluido, entonces el peso de ese fluido desplazado es igual al empuje.
Ejemplo
Una bolita de acero se introduce en un vaso de precipitado que contiene agua pura. Una vez que la bolita está dentro del líquido se saca con una pipeta exactamente la cantidad de agua desplazada por el objeto, es decir, el recipiente vuelve a tener el nivel de líquido inicial. Al medir la masa del agua extraída, se obtienen 10 g.
a) ¿Cuál es el peso del agua desplazada?
b) ¿Cuál es el módulo del empuje que experimenta la bolita de acero?
Solución
a) Para encontrar el peso del agua desplazada solo necesitamos conocer su masa. De acuerdo a la ecuación (Ec.2), tenemos:
b) De acuerdo al principio de Arquímedes, expresado en la ecuación (Ec.1), obtenemos:
¿Por qué un objeto se hunde o flota?
La flotación de un objeto depende de la relación entre su densidad y la densidad del fluido en el que se encuentra. Analizaremos los tres casos posibles.
El objeto es más denso que el fluido.
En este caso, el objeto se va hacia el fondo del líquido en el que es sumergido, debido a que el peso del objeto es mayor que el peso del fluido desplazado y, por lo tanto, mayor que el empuje:
La piedra sumergida completamente en la Figura es un buen ejemplo de esta situación.
El objeto tiene la misma densidad que el fluido.
En este caso, no podemos decir que el objeto se hunda o flote, aunque se trata de un caso particular en el que el peso del objeto es igual al peso del fluido desplazado y, por lo tanto, igual al empuje. Sin embargo, el objeto podría encontrarse igualmente en el límite de la superficie del fluido o en el fondo.
Un ejemplo de esta condición sería la situación de un globo lleno de agua en el interior de otro recipiente con agua.
El objeto tiene menor densidad que el fluido.
En este caso el objeto permanece parcialmente sumergido, es decir, flota. Esto se debe a que si el cuerpo se sumerge completamente, su peso es menor que el peso del fluido que desplaza, de manera que asciende hasta la superficie.
En estas condiciones, el objeto flotante desplaza un volumen de agua que es una fracción del volumen total del objeto, lo que permite equilibrar su peso y el empuje. Por supuesto, los ejemplos de esta situación son numerosos.
Tal vez, el más espectacular sea el de un iceberg en el mar, cuya versión doméstica podemos observar con cubos de hielo en un vaso de agua.
¿Qué le ocurre a un fluido como el aceite si se introduce en agua? ¿Sube a la superficie del agua o baja a lo más profundo? ¿Por qué? En suma, el principio de Arquímedes se puede expresar en función de la densidad del fluido del siguiente modo:
Así, para un objeto flotante, la condición de equilibrio en función de su densidad (ρ0) y la densidad de fluido (ρ) es:
En muchos peces, la vejiga natatoria permite controlar la flotabilidad mediante un complejo sistema de intercambio gaseoso con la sangre. El mecanismo permite al pez ascender o descender en el agua, cambiando la densidad relativa del pez sin necesidad de utilizar la musculatura.
Un globo lleno de agua sumergido en una piscina se encuentra en una situación en la que su peso está completamente equilibrado por el empuje, y por esta razón no flota, pero tampoco se hunde hasta el fondo.
Un submarino utiliza el principio de Arquímedes para navegar bajo el agua o en la superficie. Para controlar su peso, los submarinos están equipados con tanques de lastre. Para sumergirse o emerger, usan los tanques de proa y popa, llamados tanques principales, que se abren y se llenan completamente de agua para sumergirse o se llenan de aire a presión para emerger.
En (a), el dinamómetro mide el peso del objeto. En (b), cuando se sumerge el objeto en un fluido, el dinamómetro mide un peso menor, que se conoce como peso aparente. En este caso, el dinamómetro marca menos debido a que al peso del objeto se le resta la fuerza de empuje ejercida por el agua. Este es un método directo para medir el empuje.
Ejemplo II
Un iceberg, como el de la Figura 6.6, tiene una densidad de 920 kg/m3y flota en la superficie del agua de mar, cuya densidad es de 1.030 kg/m3.
a) ¿Qué fracción del iceberg se encuentra sobre la superficie del mar? a: Un objeto flotante experimenta un empuje igual a su peso, ya que está en equilibrio en la superficie; por lo tanto, de acuerdo al desarrollo de las ecuaciones (Ec.7), tenemos:
El equilibrio de fuerzas consiste en que el peso del iceberg es igual al peso del agua desplazada, lo que se logra cuando una gran parte del iceberg está sumergida. Esta porción tiene un volumen igual al volumen del agua desplazada. Por lo tanto, solo el 11% del volumen del iceberg es visible sobre la superficie.
* La información e imágenes han sido extraída del texto para estudiantes dado por el Ministerio de Educación de Chile, encargado a McGraw-Hill Iteramericana, 2009.
Animación flash que muestra el principio de Arquímides
