Péndulo simple

Recordemos que todo movimientos que oscila, es decir, se mueve de manera periódica en torno a una posición de equilibrio, puede ser descrito matemáticamente más o menos de manera similar. Los siguientes conceptos son generales y se aplica a todo movimiento oscilatorio.


Péndulo simple sin roce

Figura 1: Muestra la descomposición de la fuerza peso, cuya componente horizontal actúa como fuerza restauradora, mientas la componente vertical es la responsable de dar la tensión a la cuerda.
Figura 1: Muestra la descomposición de la fuerza peso, cuya componente horizontal actúa como fuerza restauradora, mientas la componente vertical es la responsable de dar la tensión a la cuerda.
Figura 2: Muestra que el vector aceleración tiene dirección contraria al vector velocidad en todo momento. Así también, muestra que justamente en la vertical la aceleración es cero, siendo la velocidad máxima.
Figura 2: Muestra que el vector aceleración tiene dirección contraria al vector velocidad en todo momento. Así también, muestra que justamente en la vertical la aceleración es cero, siendo la velocidad máxima.

Aproximación para ángulos pequeños

La aproximación es conveniente, para simplificar cálculos, transformando un valor de seno que puede ser compleja por una más sencilla, tomando ciertas aproximaciones. Cuando los ángulos son pequeños, se puede aproximar el valor de la función seno, coseno y tangente al valor del ángulo, siempre cuando sea medido en radianes. Lo anterior surge de la linealización de la función trigonométrica, que se puede entender como un truncamiento de la correspondiente serie de Taylor.

\begin{equation} sen\theta=\theta-\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^5}{5!}-\frac{\theta^7}{7!}+... \end{equation}

\begin{equation} \begin{aligned} & sen \,x \approx x \\ & cos \,x\approx x \\ & tan \,x = \; sen \,x \approx x\end{aligned} \end{equation}

Figura 3: Se observa que el comportamiento de las funciones trigonométricas clásicas muy cercano al cero, se comportan de manera similiar.
Figura 3: Se observa que el comportamiento de las funciones trigonométricas clásicas muy cercano al cero, se comportan de manera similiar.

Conceptos básicos

Hay algunos conceptos físicos fundamentales en el movimientos periódicos, los cuales repasaremos brevemente.

 

La frecuencia es la cantidad de oscilaciones, ciclos o eventos que ocurren en determinado intervalo de tiempo. En el sistema internacional se mide en unidades s-1 o también conocido como hz.

 

\begin{equation} f=\frac{\text{N° Osci}}{\Delta t} \end{equation}

Periodo

Corresponde el tiempo que demora en hacer un ciclo u oscilación completa un movimiento oscilatorio en torno a su posición de equilibrio. En el SI se mide en segundos y se simboliza con una letra T.

 

\begin{equation} T=\frac{\Delta \,t}{N\, Osc} \end{equation}

Rapidez angular

La rapidez angular corresponde a la rapidez con la cual cambia la posición angular en función del tiempo. Se relaciona con la variables lineales a través del radio de giro. En el SI se mide en rad/s

\begin{equation} \begin{aligned} & v_t=r\, \omega \\ & v_t=r \, \frac{2\pi}{T} \\ & v_t= 2 \pi \,r f \end{aligned} \end{equation}

Las ecuaciones muestran las distintas combinaciones que pueden tener para la velocidad tangencial.

Aceleración angular

La aceleración angular corresponde a la rapidez como cambia la rapidez en función del tiempo. Tiene unidades de rad/s^2 en el SI.

\begin{equation} \begin{aligned} & a_t=r\, \alpha \\ & a_t=r \, \frac{\Delta \omega}{\Delta t} \end{aligned} \end{equation}

Como se observa en la figura la fuerza peso se descompone en dos fuerzas, una perpendicular a la trayectoria y otra tangencial. La primera es la responsable de generar la tensión en el hilo, la se segunda es la fuerza restauradora que empuja el péndulo hacia el punto de equilibrio.

\begin{equation} \vec{F}_p=-mg\; sen\theta \; \hat{i}-mg cos\theta \; \hat{j} \end{equation}

La componente vertical no genera aceleración, entonces aplicando la segunda ley de newton nos queda:

\begin{equation} T-mg\, cos\theta=0 \end{equation}

Es decir, la tensión en la cuerda no es constante durante el movimiento, su magnitud estará dependerá del ángulo, siendo máxima cuando el coseno es máximo, es decir, cuando está justo en la vertical.

 

Por otro lado, la componente horizontal actúa como fuerza restauradora, empujando el péndulo siempre al punto de equilibrio, en este caso a la vertical. Esta fuerza de restauración es variable y su valor depende del ángulo. Es máxima mientras mayor sea el ángulo y es cero justo cuando el ángulo es cero, cuando está en la vertical.

 

Para la fuerza restauradora tenemos:

\begin{equation} \begin{aligned} &F_T=-mg\, sen\theta=ma \\ &a=-g\, sen\theta \end{aligned} \end{equation}

Esta fuerza tangencial, hará que el péndulo experimente una aceleración tangencial, que a su vez se traducirá en una aceleración angular.

\begin{equation} \begin{aligned} & a_t=L\; \alpha =L \, \frac{d^2\theta}{dt^2} \end{aligned} \end{equation}

al reemplazar este término de la aceleración en la segunda ley de Newton, tenemos:

\begin{equation} \begin{aligned} & L\,\frac{d^2\theta}{dt^2}+g\, sen\theta=0\\ & \frac{d^2\theta}{dt^2}+\frac{g}{L}\;sin\theta=0 \end{aligned} \end{equation}

Si asumimos que el ángulo de desplazamiento es pequeño, podemos utilizar la aproximación del ángulo pequeño y reescribir la ecuación de movimiento como:

\begin{equation} \frac{d^2\theta}{dt^2}+\frac{g}{L}\theta=0 \end{equation}

Al aplicar la aproximación sobre la ecuación anterior, podemos obtener una ecuación diferencial de segundo orden que describe el movimiento armónico simple del péndulo simple. La solución general de esta ecuación es una función senoidal de la forma:

\begin{equation} \theta(t)=A\,cos \left( \sqrt{\frac{g}{L}}t+\phi \right) \end{equation}
Donde: \begin{equation} \begin{aligned} & A=\text{amplitud}\\ & \phi=\text{fase inicial} \\ & L=\text{largo del péndulo} \\ & g=\text{aceleración de gravedad} \end{aligned} \end{equation} Cabe mencionar que \begin{equation}\omega=\sqrt{\frac{g}{L}} \end{equation} es la rapiz angular, es decir, la razón a la cual cambia la posición angular en función del tiempo. \begin{equation} \omega=\frac{\Delta \theta}{\Delta t} \end{equation}
Combinando lo anterior con las ecuaciones del periodo y la frecuencia podmos escribir la solución general como \begin{equation} \begin{aligned} & \omega=\frac{2\pi}{T} \\ &\omega=2\pi\;f \end{aligned} \end{equation}

Al reescribir la función que es solución de ecuación obtenemos:

\begin{equation} \theta(t)=A\,cos \, \omega t +\phi \end{equation}
\begin{equation} \theta(t)=A\,cos \, \frac{2\pi}{T} t +\phi \end{equation}
\begin{equation} \theta(t)=A\,cos \, 2\pi \, f t +\phi \end{equation}

Ahora como la velocidad es la derivada de la posición, y la aceleración la derivada de la velocidad, tenemos respectivamente para las cantidad angulares las siguientes ecuaciones para la velocidad angular y aceleración angular.

\begin{equation} \begin{aligned} & \theta(t)=A\,cos \, \omega t +\phi \\ & \omega(t)=-\omega A\,sen \, \omega t +\phi \\ & \alpha(t)=-\omega^2 A\,cos \, \omega t +\phi \\ \end{aligned} \end{equation}
Figura 4: Muetra los desfase entre la posición, velocidad y aceleración. Note que la velocidad está desfasa en Pi con respecto a la aceleración, y estas con respecto a la posición angular en Pi/2.
Figura 4: Muetra los desfase entre la posición, velocidad y aceleración. Note que la velocidad está desfasa en Pi con respecto a la aceleración, y estas con respecto a la posición angular en Pi/2.

Péndulo simple con roce

Cuando hacemos oscilar un péndulo, este comienza lentamente a disminuir sus oscilaciones producto del roce principalmente con el viento y otras fricciones menores en los nudos, etc. Consideraremos una fuerza de roce que actúa contra el movimiento y que depende de manera lineal de la velocidad, pues las velocidad del viento y por ende de oscilación del péndulo son pequeñas y nos vamos a interesar en el caso en que el ángulo es menor a 15°.

 

En la figura vemos que la masa "m"  está sometida a la fuerza tensión del cordel, a la fuerza de gravedad y a una fuerza de roce que solo está presente cuando el cuerpo tiene velocidad, por lo tanto en el dibujo hay que suponer que la masa va descendiendo con velocidad v hacia la izquierda.