Espejos Curvos

Los espejos curvos son superficies reflectoras en forma de casquetes esféricos, de metal o vidrioplateado, los cuales pueden ser cóncavos o convexos.

En general este tipo de espejo formará distintas imágenes dependiendo de la posición en la que se encuentra el objeto y el centro de curvatura.

En la imagen muestra un rayo de luz incidente desde O y que se refleja en P, satisfaciendo la ley de reflexión. El segmento que va desde PC, corresponde a la normal, pero también al radio de la curvatura R del espejo con centro en C. La proyección del rayo reflejado en P intercepta al eje óptico en I. Y V se denomina vértice, y se produce por la intercepción del espejo y el eje óptico.

De esta forma tenemos s que corresponde a la distancia entre el vértice y el objeto, por otro lado, s´es la distancia entre la imagen formada y el vértice.

CENTRO DE CURVATURA, C : Es el centro de la superficie esférica que pertenece al espejo. También podemos decir que es el centro de la circunferencia a la cual se circunscribe el espejo.

RADIO DE CURVATURA, R: Es la distancia entre C y la superficie del espejo.

VÉRTICE DEL ESPEJO, V: Es el origen del sistema de coordenadas, donde se intercepta la superficie del espejo con el eje óptico.

EJE ÓPTICO: Es la recta que pasa por C y V, cortando al espejo en dos partes simétricas e iguales.

Ahora nosotros nos preguntamos por la relación que puede existir entre el radio de curvatura R y las correspondiente distancias s y s´, para determinar las posiciones de la imagen y objeto en un espejo curvo. La óptica que estamos trabajando es llamada óptica paraxial, porque ocurre cerca del eje óptico.

La serie de Taylor para el coseno y seno son:

si nosotros consideramos solo los primeros términos, entonces podemos escribir

lo anterior es válido para cuando  φ es pequeño (en 10° hay un error de 1,5 %). Esta aproximación del primer orden se conoce como óptica Gaussiana. Entonces nuestra relación y siguiendo la figura anterior tenemos:

al combinar da

Si el resultado anterior y usando la aproximación del ángulo podemos escribirla en función de las tangentes,

y como la distancia VQ es pequeña cuando φ es pequeño, cancelamos h y tenemos:

Note que en la ecuación anterior cuando R tiende a infinito, es decir, estamos en ante un espejo plano entonces s=-s´

La convención de los signos usada en conjunto con la ecuación anterior son las siguientes. Asumimos que la luz se propaga de izquierda a derecha:

1. La distancia objeto s es positiva cuando O está a la izquierda de V, el cual corresponde a un objeto real. Cuándo O esta a la derecha de V correspondiente a un objeto virtual s es negativo.
2. La distancia imagen s' es positiva cuando I esta a la izquierda de V,  correspondiendo a una imagen real, y negativa cuando I está a la derecha de V, siendo una imagen virtual.
3. El radio de curvatura R es positivo cuando C está a la derecha de V,  correspondiente a una espejo convexo. Y es negativo cuando C está a la izquierda de V correspondiendo a un espejo cóncavo.

En la figura de la parte inferior, muestra que la determinación de la magnificación lateral. Suponga que el objeto tiene una altura ho y la imagen hi, se forma por la proyección de los rayos reflejados en la parte posterior del espejo. Por semejanza de triángulos tenemos que:

La magnificación lateral m se define como la razón en el tamaño lateral de la imagen y el correspondiente tamaño lateral del objeto. Si también extendemos el convenio de los signos, entonces asumimos que si la orientación del objeto es la misma que la del objeto entonces es positiva. Por el contrario si la imagen es invertida con respecto al objeto. Un aumento positivo  significa que la imagen es más grande que el objeto, y por el contrario, si el aumento es negativo, entonces la imagen es más pequeña que le objeto.

En la imágen de la parte superior se muestran los 4 rayos que pueden ser utilizados para encontrar la imágenes en los espejos curvos. Se sugiere utilizar siempre el rayo que va en dirección al vértice (color negro) y el rayo que pasa por el foco. A continuación se detalla cada uno:

1. Rayo de color rojo: Cualquier rayo que incide de manera paralela al eje óptico de refleja en dirección del foco o su prolongación (espejo divergente)
2. Rayo de color verde: Todo rayo que pasa por el foco o viene en dirección del foco, al reflejarse lo hace paralelo al eje óptico
3. Rayo Azul: Todo rayo que pasa por el centro de curvatura o en su dirección e incide perpendicular a la superficie del espejo, necesariamente se refleja por la misma trayectoria, pero en sentido contrario.
4. Rayo de color negro: Este rayo que incide justo en el vértice del espejo, se refleja en el mismo ángulo con el cual incidió y en el caso del espejo divergente es su proyección la que determina la formación de la imágen.

TIPS: Sólo se proyectan o prolongan los rayos reflejados